¿Tienen los mercados financieros una Distribución Normal?

La respuesta corta es no. Aunque en muchos libros de texto y modelos financieros básicos se asume que los rendimientos de los mercados siguen una Distribución Normal (o Campana de Gauss), la realidad de los datos históricos demuestra lo contrario. Ahora bien, nuestra decisiones de compra o venta tiene una Distribución Binomial, y al analizar el porcentaje de aciertos, ésta tenderá a tener una Distribución Normal Asimétrica, la cual podemos aprovechar para desarrollar nuestro sistema de administración de riesgo suavizando la curva de ganancias y pérdidas, ya que no solo nos aprovechamos del lado derecho de la campana al predecir los verdaderos positivos sino que al cambiar la variable de decisión para el lado izquierdo los verdaderos negativos sumarán (menos por menos, más), bajando el riesgo.

En la práctica, los mercados financieros presentan lo que se conoce como "Colas Pesadas" (Fat Tails) y un exceso de curtosis. 

¿Por qué no son Normales? 

Si los mercados fueran realmente "normales", los eventos catastróficos (como el lunes negro de 1987 o la crisis de 2008) serían estadísticamente imposibles, ocurriendo quizás una vez cada varios miles de millones de años. Sin embargo, ocurren con relativa frecuencia. Es por ello que debemos administrar el riesgo.

1. Colas Pesadas (Fat Tails) 

En una distribución normal, la probabilidad de alejarse mucho de la media cae exponencialmente. En los mercados, la probabilidad de eventos extremos es mucho mayor de lo que predice la campana de Gauss. 

     * Significado: Los "Cisnes Negros" (eventos raros e impactantes) ocurren más seguido de lo esperado. 

2. Leptocurtosis (Picos más altos) 

Los rendimientos de los activos tienden a concentrarse mucho más alrededor de la media en tiempos "normales", creando un pico central más alto y delgado que el de la distribución normal. 

3. Asimetría (Skewness) 

La distribución normal es perfectamente simétrica. Los mercados, en cambio, suelen tener un sesgo negativo: las caídas suelen ser mucho más rápidas, violentas y profundas que las subidas. 

 Consecuencias de este error 

Muchos modelos de gestión de riesgos, como el VaR (Value at Risk) tradicional o el modelo de Black-Scholes para opciones, se basan en la premisa de normalidad. Cuando el mercado se comporta de forma "no normal", estos modelos subestiman el riesgo real, lo que puede llevar a pérdidas catastróficas porque el modelo decía que "ese escenario era imposible".  

Dato curioso: Un evento de "6 sigmas" (6 desviaciones estándar) en una distribución normal debería ocurrir una vez cada 1.38 millones de años. En los mercados financieros, hemos visto varios en las últimas décadas.

Al analizar nuestras propias decisiones, éstas tienen una Distribución Binomial: Compra - Venta, éxito o fracaso.

Si simplificamos cada decisión a un evento dicotómico (comprar/vender o ganar/perder), técnicamente estamos ante una serie de Ensayos de Bernoulli. Al agrupar estas decisiones, entramos en el terreno de la Distribución Binomial. 

Sin embargo, hay "trampas" psicológicas y matemáticas que hacen que nuestras decisiones no se comporten como una moneda lanzada al aire. 

1. Por qué tus decisiones "quieren" ser Binomiales 

En teoría, si tomas n decisiones independientes con una probabilidad de éxito p, tu número total de aciertos seguiría una curva binomial. 

   * Decisión individual: Bernoulli (0 o 1). 

   * Conjunto de decisiones: Binomial (¿Cuántas veces acerté de 100?). 

2. El problema en el trading manual: No son eventos independientes 

Para que una distribución sea Binomial pura, cada ensayo debe ser independiente. En nuestras decisiones, esto casi nunca ocurre debido a los sesgos cognitivos: 

     * Efecto Reciente: Si perdiste en las últimas 3 operaciones, tu cuarta decisión estará "contaminada" por el miedo o el deseo de revancha. La p (probabilidad de éxito) ya no es constante. 

     * Sesgo de Confirmación: Tendemos a tomar decisiones que validen lo que ya creemos, lo que crea una correlación entre nuestras decisiones pasadas y futuras. 

     * Aversión a la pérdida: La psicología demuestra que nos duele el doble perder $100 que lo que nos alegra ganar $100. Esto altera nuestra "probabilidad de ejecución" dependiendo de si estamos en racha ganadora o perdedora. 

3. Binomial vs. Realidad: 

La "Distribución de tus Resultados" Aunque la decisión sea binomial (comprar o vender), el resultado financiero no lo es. El resultado es una variable continua y, como vimos antes, suele tener "colas pesadas".

4. El peligro de la "Ley de los Pequeños Números" 

Un error común al analizar nuestras decisiones como binomiales es creer que, tras una serie de fracasos, "toca" un éxito (la Falacia del Apostador). En una distribución binomial real, los eventos no tienen memoria; en el trading y la vida, nuestra mente sí la tiene, y suele jugarnos en contra. 

¿Cómo mejorar este análisis? 

Si se quiere analizar las decisiones con rigor estadístico, no se debe mirar solo el éxito/fracaso (Binomial), sino la Esperanza Matemática (E): 

E = (P(éxito) * Ganancia Promedio) - (P(fracaso) * Pérdida Promedio)

Incluso con una distribución binomial donde pierdes el 60% de las veces, se puede ser rentable si los aciertos son mucho más grandes que los fallos.

¿Que pasa si el Análisis de Distribución Binomial se lo aplicamos a un Sistema Cuantitativo de Trading?

Esta es una de las aplicaciones más potentes de la estadística en el Trading Cuantitativo (Quant Trading). Al eliminar el factor emocional humano y usar un sistema automatizado, las condiciones de la Distribución Binomial se cumplen con mucha más precisión. 

Si aplicamos este análisis a un algoritmo, dejamos de ver "operaciones individuales" y empezamos a ver la estabilidad del sistema. 

1. El Algoritmo como una "Máquina de Bernoulli" 

En un sistema automatizado, cada ejecución es un ensayo de Bernoulli. Si el algoritmo tiene reglas fijas (Stop Loss y Take Profit definidos), puedes modelar su desempeño mediante la distribución binomial: 

 * n: Número total de operaciones ejecutadas por el bot. 

 * p: La probabilidad de acierto (Win Rate) que el bot ha demostrado en el backtesting. 

 * k: El número de éxitos observados. 

¿Para qué sirve esto en el mundo real? 

Si el bot tiene un Win Rate histórico del 60% (p = 0.60) y de repente pierde 8 de cada 10 operaciones, la Distribución Binomial te dirá exactamente qué tan probable es que eso sea simplemente "mala suerte" (varianza) o que el bot se haya roto (cambio en el régimen de mercado). 

2. Aplicaciones Clave en Trading Cuantitativo 

A. Prueba de Hipótesis (Z-Test) 

Se utiliza para determinar si los resultados del bot son estadísticamente significativos.  Si la probabilidad binomial de obtener tus resultados actuales por puro azar es menor al 5%, puedes tener confianza en que tu algoritmo tiene un Edge (ventaja) real. 

B. El "Binomial Option Pricing Model" 

Los sistemas cuantitativos usan esta distribución para valorar opciones. El modelo asume que el precio de un activo solo puede subir o bajar en un intervalo de tiempo (dt). Al apilar miles de estas decisiones binomiales, el modelo construye un "Árbol Binomial" que predice el precio futuro de forma mucho más flexible que otros modelos. 

3. Ventajas vs. Limitaciones del Modelo Binomial 

4. El "Riesgo de Ruina" 

Un análisis binomial te permite calcular la probabilidad de que tu cuenta llegue a cero. Por ejemplo, si se tiene un sistema con un 55% de acierto, la distribución binomial dirá que, aunque sea ganador a largo plazo, tiene una probabilidad X de sufrir una racha de 15 pérdidas consecutivas en un año de operación.

 

Conclusión

No se debe analizar el Estado de Ganancias y Pérdidas o PnL (dinero ganado/perdido) solo con una campana de Gauss. Se debe usar la Distribución Binomial para monitorear la "salud" de tu algoritmo: si el número de aciertos cae por debajo de la cola inferior de tu distribución binomial esperada, es hora de re-optimizar.